Как оформлять задание 19, чтобы не терять баллы

Методичка · 6 мин · июнь 2026

Задание 19 в профильном ЕГЭ по математике — не самое сложное по идеям, но одно из самых коварных по оформлению. Тут регулярно случается обидное: ход мысли верный, ответ правильный, а эксперт ставит на балл-два меньше, чем мог бы. Причина почти всегда одна — решение записано так, что часть рассуждений «осталась в голове». Разберём, что именно проверяет эксперт, на чём теряют баллы и как оформить решение, чтобы придраться было не к чему. В конце — чек-лист, который стоит прогонять перед каждой сдачей.

Что такое задание 19 и почему оно особое

Задание 19 — последнее в профильном ЕГЭ, обычно из теории чисел: про делимость, остатки, наборы чисел, оценки величин. Почти всегда оно разбито на три пункта:

• а) «Может ли…?» — нужно дать ответ да/нет;
• б) ещё одно «Может ли…?» — как правило, хитрее, чем а);
• в) «Найдите наибольшее (наименьшее) значение…» — самый весомый пункт.

Особенность в том, что пункты неравноценны и оцениваются по комбинациям. Пункт в) почти всегда требует двух независимых частей: предъявить пример (он даёт нужное значение) и доказать, что больше/меньше быть не может. Именно на этой второй части и сыплется большинство.

Критерии: что проверяет эксперт

Максимум за задание 19 — 4 первичных балла (по демоверсии ФИПИ 2026 структура и критерии не менялись). Баллы начисляются не за «красоту», а за обоснованность ответа в каждом пункте. Сетка примерно такая:

• 4 балла — обоснованно получены верные ответы во всех трёх пунктах (а, б, в);
• 3 балла — обоснованно решён в) и обоснованно решён а) или б);
• 2 балла — обоснованно решены а) и б); ИЛИ обоснованно решён только в);
• 1 балл — обоснованно решён а) или б);
• 0 баллов — ничего из перечисленного.

Ключевое слово во всех формулировках — «обоснованно». Эксперт оценивает не ответ, а доказательство. Правильный ответ без обоснования — это 0 баллов за пункт. И наоборот: в пункте в) можно идеально предъявить пример, но без доказательства максимальности он засчитывается лишь частично.

Точные формулировки сетки уточняйте по действующей демоверсии и методическим материалам для предметных комиссий на fipi.ru — критерии описаны там дословно.

Где теряют баллы: типичные ошибки

1. Пример есть — доказательства максимальности нет (или наоборот). Это главная потеря в пункте в). Допустим, в задаче «сумма чисел равна 80, найдите наибольшее произведение» школьник пишет: «выгоднее всего тройки, значит 26 троек и двойка, произведение $2\cdot 3^{26}2\backslash cdot3^\{26\}$». Это только оценка снизу: показано, что такое значение достижимо ($P\ge 2\cdot 3^{26}P\backslash ge2\backslash cdot3^\{26\}$). Но не доказано, что больше получить нельзя ($P\le 2\cdot 3^{26}P\backslash le2\backslash cdot3^\{26\}$). А ведь именно сведение к тройкам и есть содержание доказательства — это не «крайний случай», а основной ход. Без него у тебя половина решения и, как правило, на балл меньше.

2. В задачах «может ли» — одно направление вместо нужного. Если ответ «да», предъяви конкретный пример и проверь, что выполнены все условия (и сумма, и произведение, и что числа натуральные). Если «нет» — нужно строгое доказательство невозможности через делимость, остатки или чётность, а не «я перебрал несколько вариантов, не вышло».

3. Необоснованный перебор и потерянные случаи. Когда решение сводится к остаткам ($3t+2d=803t+2d=80$, $d\in \{0,1,2\}d\backslash in\backslash \{0,1,2\backslash \}$), нужно явно перебрать все остатки и показать, почему лишних быть не может. И не забывать про «вырожденные» варианты — например, что весь набор может состоять из одного числа.

4. Эвристика вместо доказательства. Фразы «около числа $e\approx \mathrm{2,7}e\backslash approx2\{,\}7$, поэтому тройки» или «двойки невыгодны» — это интуиция для прикидки, а не доказательство. Каждое «выгоднее заменить» должно превращаться в явное неравенство: например, тройка лучше двоек, потому что $3+3=2+2+23+3=2+2+2$, но $9>89>8$. Эксперт не обязан додумывать за тебя.

Как записать решение шаг за шагом

1. Раздели пункты явно. Подпиши «а)», «б)», «в)» — эксперт оценивает их по отдельности.
2. В каждом пункте — отдельная строка с ответом. «Ответ: да, пример: …» / «Ответ: $2\cdot 3^{26}2\backslash cdot3^\{26\}$».
3. Для «может ли — да» приведи пример и проверь все условия прямо в записи: посчитай и сумму, и произведение.
4. Для «найдите наибольшее» разнеси две части. Сначала «Оценка» (докажи, что больше нельзя — цепочкой замен с неравенствами), потом «Пример» (предъяви набор, дающий это значение). Заверши фразой: «оценка и пример совпали, значит максимум равен …».
5. Каждое «выгоднее/нельзя» подкрепляй неравенством или ссылкой на делимость. Не «очевидно», а $3a-9>a3a-9>a$ при $a>\mathrm{4,5}a>4\{,\}5$.
6. Проверь согласованность. Если используешь чётность — убедись, что количество чисел и сумма совместимы.

Чек-лист перед сдачей

• Пункты а), б), в) подписаны и решены по отдельности.
• В каждом пункте есть явная строка «Ответ: …».
• Для «может ли — да»: приведён пример, проверены все условия задачи.
• Для «может ли — нет»: есть строгое доказательство (делимость/остатки/чётность), а не перебор.
• В пункте «найдите наибольшее/наименьшее» есть обе части: оценка (нельзя больше/меньше) и пример (достижимо).
• Явно сказано, что оценка и пример совпали → значит, найден именно максимум/минимум.
• Каждый шаг «выгоднее заменить» обоснован неравенством или ссылкой на делимость.
• Перебор случаев полный: все остатки рассмотрены, вырожденные варианты (одно число, единицы) не забыты.
• Нет фраз «очевидно», «около числа $ee$» вместо доказательства.

Оформление 19-го — это навык, который тренируется отдельно от самой математики: одно дело понять идею, другое — записать её так, чтобы засчитали все четыре балла. В банке «Ботан Бро» есть задачи второй части с разбором по пунктам — можно прорешать несколько 19-х подряд, сверяя свою запись с критериями, и довести оформление до автоматизма ещё до экзамена.